Simplify a Trigonometric Equation
Trigonometry math problem: Simplify the trigonometric equation tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A
Solution: Simplification of the Trigonometric Equation
tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – (cot A – tan A) + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A
We can create a trigonometric identity for cot x – tan x
\begin{aligned} \cot x- \tan x &= \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}\\ \\ &= \dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x \cos x}\\ \\ &= \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{1}{2}\times \sin 2x}\\ \\ &= 2 \cot 2x\\ \end{aligned}
Now
tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – 2 cot 2A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – (2 cot 2A – 2 tan 2A) + 4 tan 4A + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – 4 cot 4A + 4 tan 4A + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – 4 (cot 4A – tan 4A) + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – 4 (2 cot 8A) + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A – 8 cot 8A + 8 cot 8A
⇒ tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A = cot A